大数定律 频率逼近概率
理论概率公式：
$$ P(A) = \frac{1}{2} = 0.500 $$
总投掷次数 $N$
0
目标事件发生次数 $n$
0
当前经验频率 ($n/N$)
0.000
古典概型的前提是“等可能性”。 在试验次数很少时，出现的频率可能会产生巨大的波动，甚至连续几次出现同一个结果。但是，只要我们持续不断地进行试验，随着总次数 $N \to
\infty$，统计出的频率值必然会稳定在一个特定的常数附近，这个常数就是理论概率。
频率振荡图 蓝色为频率，红虚线为理论值
观察前期的剧烈波动与后期的逐渐平稳。
组合模型 样本空间的计数
从总共球中随机摸出 1 个是红球的概率：
$$ P(\text{红}) = \frac{C_3^1}{C_5^1} = \frac{3}{5} = 0.600 $$
红球 (样本点)
3
/
总球数 (样本空间)
5
在古典概型中，计算概率本质上就是做除法：$P(A) = \frac{\text{目标事件包含的基本结果数}}{\text{样本空间的总基本结果数}}$。
这要求我们熟练掌握排列组合公式 $C_n^k$ 和 $P_n^k$，将复杂的抽取过程转化为数学上的点数计算。
这要求我们熟练掌握排列组合公式 $C_n^k$ 和 $P_n^k$，将复杂的抽取过程转化为数学上的点数计算。
样本空间池 所有等可能的基本事件
每一个球代表一个等可能的基本事件。
古典概型核心法则
在确定性的边缘建立量化的数学期望
古典概型的双重前提
严格限定$$ \text{有限性} \quad \& \quad \text{等可能性} $$
样本空间的总结果必须是有限个数，且每一种结果出现的几率必须绝对相同（如均匀的骰子）。
概率的基础计算
比例法$$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{目标事件数}}{\text{总事件数}} $$
概率论中最古老也是最简单的公式，将不确定的预测转化为了纯粹的几何区域或离散数量的除法。
概率的界限与规范性
公理一$$ 0 \le P(A) \le 1, \quad P(\Omega) = 1 $$
任何事件的概率绝不可能为负数，也不可能超过 100%。必然事件发生的概率永远是 1。
对立事件的互补性
反向思维$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$
“至少有一个发生”的概率极难计算时，计算“一个都不发生”的概率，然后用 1 去减，是破局的神器。
互斥事件的加法定理
无交集情况$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
如果事件 A 和 B 绝对不可能同时发生（比如抛硬币不可能同时出正反面），那么它们发生的总概率等于各自概率之和。
一般加法公式 (容斥原理)
去重法则$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$
如果 A 和 B 有可能同时发生，直接相加会导致重叠部分被计算了两次，必须减去它们同时发生的交集概率。
乘法原理
分步进行$$ N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k $$
完成一件事需要分多个步骤，每个步骤有不同的选择，总的完成方法数是所有步骤选择数的乘积。
排列与组合
计数工具$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}, \quad C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$
在庞大的样本空间中计数的绝招。记住核心区别：排列关心抽出来的顺序，而组合不关心顺序。